Ya te digo directamente que tienes el termostao abierto o que ni lo tienes. Estoy 100% de acuerdo con Kike, el coche no deberia irte tan frio, a parte de que vas a gastar más gasolina al ir el motor tan frio el aceite no está en temperatura de servicio, los rozamientos son mayores y el desgaste se hace más importante.

Si lo que está "limpísima" es "agua" apaga y vamonos, te va a corroer el motor al oxidarse.
Mejor seria que echaras un limpiador del circuito de refrigeracion y despues lo vaciaras todo bien para ponerle un anticongelante apropiado. El agua pa las ranas.
Lo que me preocupa cuando veo un coche de segunda mano es encontrar agua pura y dura en lugar del anticongelante tipico amarillo o rosita, eso es señal de que han tenido que ir rellenando porque lo tiraba o peor, se lo bebia, y eso no es buena señal.
Espero que el tuyo sea verdadero anticongelante y tan solo lo estes llamando agua por abreviar (lo cual me parece muy bien porque es más comodo).

Si tienes problemas al meter una marcha pero está localizado en la palanca el problema debe ser efectivamente un reglaje. No sé como se regla esta caja, pero posiblemente sea como la del Kadett. El tema del varillaje tambien puede tener algún taco de goma estropeado, incluso los tacos del motor, por eso no te entra bien esa posición de la palanca. Cuestan poco y son muy importantes, yo los cambiaria.

Una vez que tengas el motor con su termostato revisado (o puesto) y el tema de la 5ª bien podrás investigar más cosas sobre ese coche, porque, sin animo de malmeter, puede que esté pidiendo a gritos mucha atención que no ha tenido estos años con su dueña.

Un saludo.